Analyzujte obvod řady RC pomocí diferenciální rovnice

John Santiago

Obvod řady RC prvního řádu má jeden rezistor (nebo síť odporů) a jeden kondenzátor zapojený do série. RC obvody prvního řádu lze analyzovat pomocí diferenciálních rovnic prvního řádu. Analýzou obvodu prvního řádu můžete pochopit jeho načasování a zpoždění.



Zde je příklad RC obvodu prvního řádu.



image0.jpg

Pokud má váš obvod řady RC kondenzátor připojený spíše k síti odporů než k jednomu rezistoru, můžete k analýze obvodu použít stejný přístup. Nejprve musíte najít ekvivalent Thévenin, který redukuje rezistorovou síť na jeden rezistor v sérii s jediným zdrojem napětí.



Zde zobrazený jednoduchý obvod řady RC je poháněn zdrojem napětí. Protože rezistor a kondenzátor jsou zapojeny do série, musí mít stejný proud to) . Pro ukázkový obvod a co následuje dále, nechte R = R T .

Zjistit napětí na rezistoru proti R (t) , pro odporové zařízení používáte Ohmův zákon:

protiR(t) = Ri (t)



Omezení prvku pro kondenzátor je uvedeno jako

image1.jpg

kde v (t) je napětí kondenzátoru.

Generování proudu přes kondenzátor vyžaduje měnící se napětí. Pokud se napětí kondenzátoru nezmění, proud v kondenzátoru se rovná 0. Nulový proud znamená nekonečný odpor pro konstantní napětí na kondenzátoru.

Nyní vyměňte kondenzátorový proud i (t) = Cdv (t) / dt do Ohmova zákona pro odpor R , protože odporem a kondenzátorem protéká stejný proud. Tím získáte napětí na rezistoru, proti R (t) :

image2.jpg

Kirchhoffův zákon napětí (KVL) říká, že součet napětí stoupá a klesá kolem smyčky obvodu se rovná 0. Použití KVL pro ukázkový obvod řady RC vám dává

protiT(t) = vR(t) + v (t)

Nyní nahradit proti R (t) do KVL:

image3.jpg

Nyní máte diferenciální rovnici prvního řádu, kde neznámou funkcí je napětí kondenzátoru. Znalost napětí na kondenzátoru vám poskytne elektrickou energii uloženou v kondenzátoru.

Obecně se napětí kondenzátoru označuje jako stavová proměnná, protože napětí kondenzátoru popisuje stav nebo chování obvodu kdykoli.

Snadný způsob, jak si tyto stavové proměnné zapamatovat - například napětí kondenzátoru proti C (t) a indukční proud i L (t) - Popište, že současná situace v obvodu je myslet na polohu a okamžitou rychlost vašeho vozu jako na stavové proměnné vašeho vozu. Pokud závodíte po majestátní silnici v národním parku Rocky Mountain, vaše poloha GPS a rychlost vozu popisují aktuální stav vaší jízdy.

Obvod řady RC je obvodem prvního řádu, protože je popsán diferenciální rovnicí prvního řádu. Obvod redukovaný na jedinou ekvivalentní kapacitu a jediný ekvivalentní odpor je také obvodem prvního řádu. Obvod má aplikované vstupní napětí proti T (t) .

Chcete-li najít celkovou odezvu obvodu řady RC, musíte najít odezvu nulového vstupu a odezvu nulového stavu a poté je sečíst. Zde je obvod řady RC rozdělen na dva obvody. Diagram vpravo nahoře zobrazuje odezvu nulového vstupu, kterou získáte nastavením vstupu na 0. Vpravo dole diagram ukazuje odezvu nulového stavu, kterou získáte nastavením počátečních podmínek na 0.

image4.jpg