Porovnání konvergujících a odlišných sekvencí

Autor: Mark Zegarelli

Každá nekonečná sekvence je buď konvergentní, nebo divergentní. A konvergentní sekvence má limit - to znamená, že se blíží reálnému číslu. A odlišný sekvence nemá limit.

Zde je příklad konvergentní sekvence:



image0.png

Tato sekvence se blíží 0, takže:

image1.png

Tedy tato sekvence konverguje k 0.

Tady je další konvergentní sekvence:

image2.png

Tentokrát se posloupnost blíží 8 shora a zdola, takže:

image3.png

V mnoha případech však sekvence rozchází se - to znamená, že se nepodařilo přiblížit reálnému číslu. Divergence se může stát dvěma způsoby. Nejviditelnější typ divergence nastává, když posloupnost exploduje do nekonečna nebo záporného nekonečna - to znamená, že se každým termínem dostává čím dál a dále od 0. Zde je několik příkladů:

–1, –2, –3, –4, –5, –6, –7 ,. . .

ln 1, ln 2, ln 3, ln 4, ln 5,. . .

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ,. . .

V každém z těchto případů se posloupnost blíží buď

image4.png

takže limit posloupnosti neexistuje . Proto je sekvence odlišná.

Druhý typ divergence nastane, když sekvence osciluje mezi dvěma nebo více hodnotami. Například:

0, 7, 0, 7, 0, 7, 0, 7 ,. . .

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1 ,. . .

V těchto případech se posloupnost odráží na neurčito, nikdy se neusadí na hodnotě. Limita sekvence opět neexistuje , sekvence se tedy liší.