Najděte přesné oblasti pod křivkou pomocí Definite Integral

Mark Ryan

Při aproximaci oblasti pod křivkou pomocí levého, pravého nebo středového obdélníku platí, že čím více obdélníků použijete, tím lepší bude aproximace. Jediné, co musíte udělat, abyste získali přesnou oblast pod křivkou, je použití nekonečného počtu obdélníků. Nyní to opravdu nemůžete udělat, ale s fantastickým vynálezem limitů se něco takového děje. Zde je definice určitého integrálu, který se používá k výpočtu přesných oblastí.



The určitý integrál ( jednoduchý definice): Přesná plocha pod křivkou mezi X = na a X = b je dán určitým integrálem , který je definován jako limit Riemannova součtu:



image0.png

Je to věc krásy nebo co? Všimněte si, že tento součet (vše napravo od limu) je totožný se vzorcem pro n pravé obdélníky, R n :



image1.png

Jediný rozdíl je v tom, že limit tohoto vzorce vezmete, protože počet obdélníků se blíží nekonečnu

image2.png



Tato definice určitého integrálu je jednoduchá verze založená na vzorci pravého obdélníku. Definici skutečného McCoye uvidíte za okamžik, ale protože všechny Riemannovy součty pro konkrétní problém mají stejný limit - jinými slovy, nezáleží na tom, jaký typ obdélníků použijete - můžete také použít právo - definice obdélníku. Je to nejméně komplikované a vždy to bude stačit.

pravé obdélníky přibližují plochu pod F ( X ) = X 2 Šest že jo obdélníky přibližují plochu pod F ( X ) = X dva + 1 mezi 0 a 3.

Zde je přesná oblast pod F ( X ) = X dva + 1 mezi X = 0 a X = 3:

Velké překvapení.

Tento výsledek je docela úžasný, pokud o tom přemýšlíte. Pomocí procesu limitu získáte přesný odpověď 12 - něco jako 12,00000000… na nekonečný počet desetinných míst - pro oblast pod hladkou křivkovou funkcí F ( X ) = X dva +1, na základě ploch obdélníků s plochým vrcholem, které probíhají podél křivky zubatým, pilovitým způsobem.

Nalezení přesné oblasti 12 pomocí limitu Riemannova součtu je hodně práce (nezapomeňte, že nejprve musíte určit vzorec pro n pravé obdélníky). Tato komplikovaná metoda integrace je srovnatelná s tvrdým určením derivace pomocí formální definice založené na rozdílovém kvocientu.

Protože limit všech Riemannova součtu je stejný, limity v nekonečnu n levé obdélníky a n středové obdélníky - pro F ( X ) = X dva + 1 mezi X = 0 a X = 3 - měl by vám dát stejný výsledek jako limit v nekonečnu n pravé obdélníky. Tady je limit levého obdélníku:

image5.png

clobetasol pro lišejník sklerosus

A tady je limit obdélníku středního bodu:

image6.png

Pokud jste trochu nedůvěřiví, že vám tyto limity skutečně dávají přesný plocha pod F ( X ) = X dva + 1 mezi 0 a 3, nejste sami. Koneckonců, v těchto limitech, stejně jako ve všech problémech s limity, číslo šipky

image7.png

je pouze přiblížil ; ve skutečnosti to nikdy nebylo dosaženo. A navíc, co by to znamenalo dosáhnout nekonečna? Nemůžeš to udělat. A bez ohledu na to, kolik obdélníků máte, vždy máte ten zubatý, pilovitý okraj. Jak vám taková metoda může poskytnout přesnou oblast?

Podívej se na to takhle. Podívejte se na další dvě čísla.

f ( X ) = X dva+ 1 mezi X = 0 a x Přesná oblast pod F ( X ) = X dva+ 1 mezi X = 0 a X = 3 (vlevo) je aproximován plochou tří obdélníků (vpravo). X ) = X dva+ 1 ./> Šest levých obdélníků přibližuje plochu pod F ( X ) = X dva+1.

Z těchto čísel můžete zjistit, že součet ploch levých obdélníků, bez ohledu na jejich počet, bude vždy pod odhad (to je případ funkcí, které se zvyšují v daném rozpětí).

A z následujícího obrázku můžete vidět, že součet ploch pravých obdélníků, bez ohledu na to, kolik jich máte, bude vždy přes odhad (pro zvýšení funkcí).

f ( X ) = X 2 Tři pravé obdélníky použité k přiblížení oblasti pod F ( X ) = X dva+1.

Protože limity v nekonečnu podcenění a nadhodnocení jsou rovny 12, musí to být přesná oblast. (Podobný argument funguje i pro zmenšující se funkce.)

je číslo, ke kterému mají všechny Riemannovy součty sklon, protože šířka všech obdélníků má sklon k nule a jak se počet obdélníků blíží nekonečnu:

image12.png

je šířka i th obdélník a C i je X - souřadnice bodu, kde i dotýká se obdélníku F ( X ). (Že

image13.png

jednoduše zaručuje, že šířka všech obdélníků se blíží nule a že počet obdélníků se blíží nekonečnu.)