Jak analyzovat polohu, rychlost a zrychlení s diferenciací

Pokaždé, když nasednete do svého auta, budete z první ruky svědky diferenciace. Vaše rychlost je první derivací vaší pozice. A když sešlápnete plynový pedál nebo brzdu - zrychlení nebo zpomalení - zažijete druhou derivaci.

Pokud funkce udává polohu něčeho jako funkci času, první derivace udává svou rychlost a druhá derivace udává zrychlení. Takže rozlišujete polohu, abyste získali rychlost, a rozlišujete rychlost, abyste získali zrychlení.

loestrin fe generikum

Zde je příklad. Jo-jo se pohybuje přímo nahoru a dolů. Jeho výška nad zemí, jako funkce času, je dána funkcí



kde t je v sekundách a H ( t ) je v palcích. Na t = 0, je 30 palců nad zemí a po 4 sekundách je ve výšce 18 palců.

Výška jo-jo, od 0 do 4 sekund.Výška jo-jo, od 0 do 4 sekund.

Rychlost , PROTI ( t ) je derivace polohy (výška, v tomto případě) a zrychlení, NA ( t ), je derivace rychlosti. Tím pádem

Grafy výšky, rychlosti a zrychlení yo-yo od 0 do 4 sekund.Grafy výšky, rychlosti a zrychlení yo-yo od 0 do 4 sekund.

Rychlost proti Rychlost. Vaši přátelé si nebudou stěžovat - ani si toho nevšimnou - pokud používáte slova rychlost a rychlost zaměnitelně, ale váš přátelský matematik vůle stěžovat si. Zde je rozdíl.

U funkce rychlosti na obrázku výše, nahoru pohyb je definován jako a pozitivní rychlost a dolů rychlost je definována jako a záporný rychlost - toto je standardní způsob rychlosti zpracovávaný ve většině problémů s kalkulem a fyzikou. (Pokud je pohyb vodorovný, doprava znamená kladnou rychlost a doleva zápornou rychlost.)

Rychlost , na druhou stranu, je vždy kladný (nebo nulový). Pokud auto jede kolem 50 mph například řeknete, že jeho rychlost je 50 a máte na mysli pozitivní 50, bez ohledu na to, zda jde doprava nebo doleva. U rychlosti záleží na směru; pro rychlost ne. V každodenním životě je rychlost jednodušší myšlenka než rychlost, protože souhlasí se zdravým rozumem. Ale v kalkulu je rychlost ve skutečnosti složitější nápad, protože se nehodí do schématu tří funkcí zobrazeného na obrázku výše.

Při analýze rychlosti a zrychlení musíte mít na paměti rozlišení rychlosti a rychlosti. Například pokud objekt klesá (nebo doleva) rychleji a rychleji, jeho rychlost se zvyšuje, ale jeho rychlost je klesající protože jeho rychlost se stává větším negativem (a větší negativy jsou menší čísla). To se zdá divné, ale tak to funguje. A tady je další podivná věc: Zrychlení je definováno jako rychlost změny rychlosti, ne rychlost. Pokud tedy předmět zpomaluje, zatímco jde směrem dolů, a má tedy vzrůstající rychlost - protože rychlost se stává menším záporem - objekt má a pozitivní akcelerace. V každodenní angličtině byste řekli, že objekt zpomaluje (zpomaluje), ale ve třídě počtu říkáte, že objekt má negativní rychlost a pozitivní zrychlení. (Mimochodem, zpomalení není zrovna technický pojem, takže byste se tomu ve třídě kalkulů měli pravděpodobně vyhnout. Nejlepší je použít následující slovník: pozitivní zrychlení, negativní zrychlení, zrychlení a zpomalení.

Maximum a minimum výška z H ( t ) se vyskytují v lokálních extrémech, které vidíte na obrázku výše. Chcete-li je najít, nastavte derivaci H ( t ) - to je PROTI ( t ) - rovná se nule a řeší.

melatonin 5 mg vedlejší účinky

Tato dvě čísla jsou nuly PROTI ( t ) a t - koordinátoři - to je čas -coordinates - of the maximum and min of H ( t ), který můžete vidět na druhém obrázku. Jinými slovy, to jsou časy, kdy jo-jo dosáhne své maximální a minimální výšky. Připojte tato čísla H ( t ) k získání výšek:

H (0,47) ≈ 31.1

H (3,53) ≈ 16.9

Takže jo-jo dosáhne výšky asi 31,1 palce nad zemí při t ≈ 0,47 sekundy a až asi 16,9 palce nad t ≈ 3,53 sekundy.

Celkový výtlak je definována jako konečná poloha minus počáteční poloha. Protože jo-jo začíná ve výšce 30 a končí ve výšce 18,

T otální posunutí = 18 - 30 = –12.

To je negativní, protože pohyb sítě je dolů .

potraviny, kterým je třeba se během hojení ran vyhýbat

Průměrná rychlost je dáno celkovým posunutím děleným uplynulým časem. Tím pádem,

image2.png

Tato záporná odpověď vám říká, že jo-jo v průměru jde dolů 3 palců za sekundu .

Maximální a minimální rychlost yo-yo během intervalu od 0 do 4 sekund jsou určeny derivací PROTI ( t ): Nastaví derivaci PROTI ( t ) - to je NA ( t ) - rovná se nule a vyřeší:

image3.png

Nyní posuďte PROTI ( t ) v kritickém počtu 2 a v koncových bodech intervalu 0 a 4:

image4.png

Takže jo-jo má maximální rychlost 5 palců za sekundu dvakrát - na začátku i na konci intervalu. Dosahuje minimální rychlosti –7 palců za sekundu na t = 2 sekundy.

Celková ujetá vzdálenost je určeno sečtením ujetých vzdáleností na každé noze cesty jo-jo: horní noha, dolní noha a druhá horní noha.

Za prvé, jo-jo jde nahoru z výšky 30 palců na asi 31,1 palců (kde je první bod obratu). To je vzdálenost asi 1,1 palce. Dále klesá z přibližně 31,1 na přibližně 16,9 (výška druhého bodu obratu). To je vzdálenost 31,1 minus 16,9 nebo asi 14,2 palce. Nakonec jojo opět stoupne z přibližně 16,9 palce na konečnou výšku 18 palců. To je dalších 1,1 palce. Přidejte tyto tři vzdálenosti, abyste získali celkovou ujetou vzdálenost: ~ 1,1 + ~ 14,2 + ~ 1,1 ≈ 16,4 palce.

Průměrná rychlost je dána celkovou ujetou vzdáleností dělenou uplynulým časem. Tím pádem,

image5.png

Maximální a minimální rychlost . Dříve jste určili maximální rychlost jo-jo (5 palců za sekundu ) a jeho minimální rychlost (-7 palců za sekundu ). Rychlost -7 je rychlost 7, což je maximální rychlost jo-jo. Jeho minimální rychlost nula nastává ve dvou bodech obratu.

vedlejší účinky hřebíčkového oleje

Pro kontinuální rychlost funkce, minimální Rychlost je nula, kdykoli jsou maximální a minimální rychlosti opačných znaků nebo když je jedna z nich nulová. Pokud jsou maximální a minimální rychlost pozitivní nebo obě negativní, pak minimální rychlost je menší z absolutních hodnot maximální a minimální rychlosti. Ve všech případech maximum rychlost je větší absolutních hodnot maximální a minimální rychlosti. Je to sousto nebo co?

Maximální a minimální zrychlení se může zdát zbytečné, když se stačí podívat na graf NA ( t ) a uvidíte, že minimální zrychlení –12 nastává zcela vlevo, když t = 0 a že zrychlení poté dosáhne maxima 12 zcela vpravo, když t = 4. Není však nemyslitelné, že dostanete jednoho z těch neuvěřitelně náročných učitelů počtu, který má odvahu požadovat, abyste skutečně dělali matematiku a předváděli svou práci - tak si kousněte kulku a udělejte to.

Chcete-li zjistit min a max zrychlení od t = 0 až t = 4, nastavte derivaci NA ( t ) rovno nule a vyřešte:

image6.png

Tato rovnice samozřejmě nemá řešení, takže neexistují žádná kritická čísla, a proto se v koncových bodech intervalu, 0 a 4, musí vyskytnout absolutní extrémy.

image7.png

výhody a vedlejší účinky ananasové šťávy

Dorazíte k odpovědím, které jste již znali.

Všimněte si, že když je zrychlení záporný - na intervalu [0, 2) - to znamená, že rychlost je klesající . Když je zrychlení pozitivní - na intervalu (2, 4] - rychlost je vzrůstající .

Zrychlení a zpomalení. Zjištění, kdy se jo-jo zrychluje a zpomaluje, je pravděpodobně zajímavější a popisuje jeho pohyb než výše uvedené informace. Objekt se zrychluje (to, čemu v každodenní řeči říkáme zrychlení), kdykoli jsou rychlost a zrychlení počtu kladné nebo záporné. A objekt zpomaluje (to, čemu říkáme zpomalení), když jsou rychlost a zrychlení počtu opačné znaky.

Podívejte se znovu na všechny tři grafy na obrázku výše. Z t = 0 až asi t = 0,47 (když je rychlost nulová), rychlost je kladná a zrychlení záporné, takže jo-jo zpomaluje město (dokud nedosáhne své maximální výšky). Když t = 0, zpomalení je největší (12 palce za sekundu za sekundu ; graf ukazuje zrychlení o záporný 12, ale tady to nazýváme zpomalením, takže 12 je pozitivní). Od asi t = 0,47 až t = 2, rychlost i zrychlení jsou záporné, takže jo-jo se opět zpomaluje (dokud nedosáhne v nejnižší výšce). Nakonec asi t = 3,53 až t = 4, rychlost i zrychlení jsou kladné, takže jo-jo se znovu zrychluje. Jo-jo dosahuje největšího zrychlení 12 palce za sekundu za sekundu na t = 4 sekundy.

Vázání vše dohromady. Všimněte si následujících spojení mezi třemi grafy na obrázku výše. The záporný část grafu NA ( t ) - z t = 0 až t = 2 - odpovídá a klesající část grafu PROTI ( t ) a konkávní dolů část grafu H ( t ) . The pozitivní interval grafu NA ( t ) - z t = 2 až t = 4 - odpovídá an vzrůstající interval na grafu PROTI ( t ) a a konkávní interval v grafu H ( t ) . Když t = 2 sekundy, NA ( t ) má nulu, PROTI ( t ) má místní minimum , a H ( t ) má inflexní bod .