Jak vypočítat výstupy pro racionální funkce

Autor: Yang Kuang, Elleyne Kase

V předpočtu můžete vypočítat výstupy pro racionální funkce. A racionální funkce je funkce, kterou lze vyjádřit jako podíl dvou polynomů, takový, že



ceny hydrokodonu za pilulku

Racionální funkce.



kde stupeň co ( X ) je větší než nula.

Zde jsou kroky při hledání výstupů racionálních funkcí (a nakonec grafů):



  1. Vyhledejte vertikální asymptoty.

    Mít proměnnou na konci zlomku je problém, protože jmenovatel zlomku nikdy nemůže být nula. Obvykle jsou některé doménové hodnoty z X jmenovatel je nulový. Pokud existuje X -hodnota, díky níž je jmenovatel nulový, ale čitatel ne, pak má graf to, co se nazývá a vertikální asymptota na to X -hodnota . Vytvoření grafu vertikální asymptoty vám nejprve ukáže číslo v doméně, kam váš graf nemůže projít. Graf se blíží tomuto bodu, ale nikdy ho nedosáhne. S ohledem na to, pro jaké hodnoty X můžeš ne zapojit do racionální funkce?

    Všechny následující funkce jsou racionální:



    Tři příklady racionálních funkcí.

    Zkuste najít hodnotu pro X ve kterém je funkce nedefinovaná. Pomocí následujících kroků vyhledejte vertikální asymptotu pro F ( X ) První:

    1. Nastavit jmenovatel racionální funkce na nulu.

      Pro F ( X ), X dva+ 4 X - 21 = 0.

    2. Vyřešte tuto rovnici pro X.

      Protože tato rovnice je kvadratická, zkuste ji rozčlenit. Tento kvadratický faktor pro ( X + 7) ( X - 3) = 0. Pro řešení nastavte každý faktor na nulu. Li X + 7 = 0, X = –7. Li X - 3 = 0, X = 3. Vaše dvě vertikální asymptoty tedy jsou X = –7 a X = 3, jak je znázorněno na obrázku.

      Graf se svislými asymptoty pro racionální funkci.

    Nyní můžete najít vertikální asymptotu pro G ( X ). Postupujte podle stejné sady kroků:

    4 - 3 X = 0

    X = 4/3

    Nyní máte svoji vertikální asymptotu pro G ( X ). To bylo jednoduché! Je čas to všechno udělat znovu h ( X ):

    X + 2 = 0

    X = –2

    Tyto rovnice pro svislé asymptoty si nechte blízko, protože je budete potřebovat při pozdějším grafu.

  2. Hledejte horizontální asymptoty.

    Chcete-li najít horizontální asymptotu racionální funkce, musíte se podívat na stupeň polynomů v čitateli a jmenovateli. The stupeň je nejvyšší síla proměnné v polynomiálním výrazu. Postupujete takto:

    klindamycin nefunguje zubní absces
    • Pokud má jmenovatel větší stupeň (jako v F ( X ) příklad v kroku 1), vodorovná asymptota je automaticky X- osa, nebo Y = 0.

    • Pokud mají čitatel a jmenovatel stejný stupeň, musíte rozdělit hlavní koeficienty (koeficienty výrazů s nejvyššími stupni), abyste našli vodorovnou asymptotu.

      Pokud výrazy s nejvyššími stupni nejsou v polynomu zapsány jako první, můžete oba polynomy přepsat tak, aby nejvyšší stupně byly na prvním místě. Můžete například přepsat jmenovatele G ( X ) jako –3 X + 4, takže se zobrazí v sestupném pořadí.

      Funkce G ( X ) má stejné stupně nahoře i dole. Chcete-li najít horizontální asymptotu, rozdělte hlavní koeficienty na termíny nejvyššího stupně:

      Nalezení horizontálních asymptot racionální funkce.

      Nyní máte svoji horizontální asymptotu pro G ( X ). Pro grafy se držte této rovnice!

    • Pokud má čitatel větší stupeň přesně o jeden větší než jmenovatel, bude mít graf šikmý asymptot; v kroku 3 najdete další informace o tom, jak postupovat.

  3. Hledejte šikmé asymptoty.

    Šikmé asymptoty nejsou vodorovné ani svislé. Asymptota ve skutečnosti nemusí být vůbec přímka; může to být mírná křivka nebo opravdu komplikovaná křivka.

    Chcete-li najít šikmou asymptotu, musíte k nalezení podílu použít dlouhé dělení polynomů. Vezmete jmenovatele racionální funkce a rozdělíte jej na čitatele. Kvocient (zanedbání zbytku) vám dá rovnici přímky vaší šikmé asymptoty.

    Chcete-li doplnit graf racionální funkce šikmým asymptotem, musíte pochopit dlouhé dělení polynomů.

    The h ( X ) příklad z kroku 1 má šikmou asymptotu, protože čitatel má v polynomu vyšší stupeň. Použitím dlouhého dělení získáte kvocient X - 2. Tento podíl znamená, že šikmý asymptot se řídí rovnicí Y = X - 2. Protože tato rovnice je prvního stupně, grafujeme ji pomocí formuláře pro zachycení sklonu. Mějte na paměti tuto šikmou asymptotu, protože grafy se blíží!

  4. Vyhledejte X - a Y - koncepty.

    Posledním dílkem skládačky je nalezení průsečíků (kde čára nebo křivka protíná X- a Y- osy) racionální funkce, pokud existují:

    • Chcete-li najít Y - průsečík rovnice, množina X = 0. (Připojte 0 kamkoli uvidíte X. ) The Y - zachytit F ( X ) z kroku 1 je například 1/21.

    • Chcete-li najít X- průsečík rovnice, množina Y = 0 a vyřešit pro X .

    U jakékoli racionální funkce je zkratka k nalezení X -intercept je nastavit čitatel rovný nule a poté vyřešit. Někdy však když to uděláte, rovnice, kterou dostanete, je neřešitelná, což znamená, že racionální funkce nemá X- zachytit.

    The X- zachytit F ( X ) je 1/3.

    Tento obrázek ukazuje graf pro F ( X ).

    Graf pro racionální funkci.

    Nyní najděte zachycení pro G ( X ) a h ( X ) z kroku 1. Pokud tak učiníte, najdete následující body:

    • G ( X ) má Y- zachytit ve 3 a an X- zachytit v –2.

      nobivac intra trac 3
    • h ( X ) má Y -intercept v –9/2 a X -intercepts ve společnosti

      kladné / záporné tři

Zde je graf pro G ( X ):

Graf racionální funkce bez vodorovných asymptot.

Zde je graf pro h ( X ):

Graf racionální funkce.