Jak řešit spouštěcí rovnici, která má více funkcí trigonometrie

Mary Jane Sterling

Některé trigonometrické rovnice obsahují více než jednu trigovou funkci. Jiné mají směsi více úhlů a jednoduchých úhlů se stejnou proměnnou. Některé příklady takových rovnic zahrnují 3cosdva X = bezdva X , 2 s X = ano X + dětská postýlka X , protože 2 X + cos X + 1 = 0, a hřích X něco X = 1/2.



Chcete-li tyto rovnice dostat do více zvládnutelných forem, abyste je mohli vyřešit pomocí factoringu nebo jiné metody, použijte identity k nahrazení některých nebo všech výrazů. Například vyřešit 3cosdva X = bezdva X pro všechny úhly mezi 0 a 2π použijte Pythagorovu identitu.



  1. Nahraďte výraz hříchdva X s jeho ekvivalentem z Pythagorovy identity, hříchdva X + cosdva X = 1 nebo hříchdva X = 1 - cosdva X .

    3cosdva X = 1 - cosdva X



  2. Přidat cosdva X na každou stranu a zjednodušit dělením.

    image0.png

  3. Vezměte druhou odmocninu každé strany.



    image1.png

  4. Vyřešte hodnoty X které splňují rovnici.

    mohu užívat advil s prednisonem?

    image2.png

V tomto dalším příkladu začnete se třemi různými spouštěcími funkcemi. Dobrou taktikou je nahradit každou funkci pomocí poměrové identity nebo reciproční identity. Použití těchto identit vytváří zlomky a zlomky vyžadují společné jmenovatele.

Mimochodem, mít zlomky v trig rovnicích je dobrý , protože produkty, které vznikají vynásobením a vytvořením ekvivalentních zlomků, jsou obvykle částmi identit, které pak můžete nahradit, aby byl výraz mnohem jednodušší. Vyřešit 2 s X = ano X + dětská postýlka X pro všechna možná řešení ve stupních.

  1. Nahraďte každý výraz příslušnou reciproční nebo poměrovou identitou.

    image3.png

  2. Přepište zlomky společným jmenovatelem hřích X něco X .

    Vynásobte každý člen zlomkem, který se rovná 1, přičemž v čitateli i jmenovateli je sinus nebo kosinus.

    image4.png

  3. Přidejte dvě frakce vpravo. Poté pomocí Pythagorovy identity nahraďte nový čitatel 1.

    image5.png

  4. Nastavte rovnici rovnou 0 odečtením správného členu od každé strany.

    image6.png

  5. Nyní nastavte čitatel rovný 0.

    image7.png

    Pokud je čitatel roven 0, pak se celý zlomek rovná 0. Jmenovateli by nemělo být dovoleno rovnat 0 - takové číslo neexistuje.

  6. Vyřešte hodnoty X které splňují původní rovnici.

    image8.png

V dalším příkladu jsou ve hře dva různé úhly. Jeden úhel je dvakrát větší než druhý, takže k redukci výrazů na funkce pouze jednoho úhlu použijete identitu dvojitého úhlu. Trik spočívá ve výběru správné verze kosinové dvojité úhlové identity.

Vyřešte cos 2 X + cos X + 1 = 0 pro X mezi 0 a 2 p .

  1. Vyměňte cos 2 X s 2cosdva X - 1.

    2cosdva X - 1 + cos X + 1 = 0

    Tato verze kosinové dvojité úhlové identity je výhodnější, protože další trigová funkce v rovnici již má kosinus.

  2. Zjednodušte rovnici. Pak vyfocte cos X .

    image9.png

  3. Nastavte každý faktor rovný 0.

    image10.png

  4. Vyřešte hodnoty X které splňují původní rovnici.

    image11.png

Tento poslední příklad může být klamně jednoduchý. Háček je v tom, že musíte předem rozpoznat identitu s dvojitým úhlem a rychle přepnout.

image12.png

  1. Použijte sinusovou identitu dvojitého úhlu k vytvoření náhrady výrazu vlevo.

    Počínaje identitou a vynásobením každé strany 1/2, dostanete

    image13.png

  2. Nahraďte výraz vlevo od původní rovnice jeho ekvivalentem z identity s dvojitým úhlem.

    image14.png

  3. Vynásobte každou stranu rovnice 2.

    image15.png

  4. Přepište výraz jako inverzní funkci.

    dva X = bez-1(1)

  5. Určete, které úhly uvnitř dva rotace uspokojí výraz.

    dva X = bez-1(1) = 90 °, 450 °

    Použijete dvě rotace, protože koeficient je X je 2.

  6. Rozdělte každý termín 2.

    image16.png

    Všimněte si, že výsledné úhly jsou mezi 0 a 360 stupni.

Techniku ​​dvojitého úhlu můžete zobecnit z výše uvedeného příkladu pro další výrazy s více úhly.